TURUNAN 0 komentar

BARISAN DAN DERET 0 komentar

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan
tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara sukusuku
berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan
tertentu.
Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,
maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:
a. 2, 5, 8, 11, 14, ................ ditambah 3 dari suku di depannya
b. 100, 95, 90, 85, 80, ........ dikurangi 5 dari suku di depannya
Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut
barisan geometri. Misal:
a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, .......... dikalikan 2 dari suku di depannya
b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ............ dikalikan ½ dari suku di depannya
Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:
Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA
Barisan Aritmatika
Misal: 2, 5, 8, 11, 14, .........an
a1 = 2 = a
a2 = 5 = 2 + 3 = a + b
a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b
a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b
an = a + (n-1) b
Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:
a a ( n 1 )b n 1 = + - atau S a ( n 1)b n 1 = + - dimana:
Sn = an = Suku ke-n
a1 = suku pertama
b = beda antar suku
n = banyaknya suku
Latihan:
1. Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, .................
2. Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78. Tentukan suku
pertama dan bedanya !
3. Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 = 41 dan suku ke-
11 = 23
Deret Aritmetika (Deret Hitung)
Misal: Dn = a + (a + b) + (a + 2b) + ...........+ (Sn – 2b) + (Sn – b) + Sn
Dn = Sn + (Sn - b) + (Sn – 2b) + ......+ (a + 2b) + (a + b) + a
+
2 Dn = (a + Sn) + (a + Sn) + (a + Sn) + ................... sebanyak n
2 Dn = n(a + Sn)
( a S )
2
n
D n n = + atau
( a a (n -1) b )
2
n
Dn = + +
( 2a (n - 1) b )
2
n
Dn = + dimana
Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)
Latihan:
1. Carilah jumlah sepuluh suku pertama dari barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, .........
2. Terdapat 60 suku dalam barisan aritmetika yang mana suku pertama adalah 9 dan
suku terakhir adalah 127. Tentukan D60 !
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Barisan Geometri
Misal: 3, 6, 12, 24, 48, .................
a1 = 3 = a
a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar
a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar2
a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar3
an = arn-1
Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:
n 1
n a =ar - dimana:
an = suku ke- n (Sn)
a = suku pertama
r = rasio antar suku berurutan
n = banyaknya suku
Latihan:
1. Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya
adalah 2.
2. Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan
suku ke-9 adalah 768
Deret Geometri (Deret Ukur)
Misal: Dn = a + ar + ar2 + ar3 + ............ + arn-1
r Dn = ar + ar2 + ar3 + ............ + arn-1 + arn
-
Dn - rDn = a - arn
(1-r)Dn = a (1-rn)
(1 r )
a(1 r )
D
n
n -
-
= dimana:
Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)
Latihan:
1. Carilah jumlah sampai dengan suku ke-8 yang pertama dari barisan geometri: 3, 6,
12, 24, ........
2. Apabila suku ke-3 dan suku ke-7 dari suatu deret ukur masing-masing adalah 800
dan 204.800, berapakah suku pertama (a), rasio (r), suku ke-5 (S5) dan jumlah 5
suku pertama (D5) ?

Ruang Sampel 0 komentar

RUANG SAMPEL:
Yang dimaksud dengan ruang sampel suatu percobaan adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

Percobaan adalah proses yang menghasilkan suatu hasil pengukuran atau pengamatan.
Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel (titik sampel. Menurut banyaknya hasil dalam ruang sampel dibedakan menjadi dua yaitu ruang sampel diskrit dan ruang sampel kontinu.
Ruang sampel dikatakan ruang sampel diskrit jika anggota dari ruang sampel dapat didaftar. Sedangkan jika anggota dari ruang sampel tidak dapat didaftar disebut ruang sampel kontinu.

Ruang Sampel dilambangkan dengan :
S={s1,s2,...}

n(S)-banyaknya anggota S

Contoh:
1. Sebuah dadu dilempar satu kali, tentukan ruang sampelnya!
Jawab:
Karena yang mungkin muncul mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6, maka:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dalam hal ini n (S) = 6
Karena ruang sampel dapat didaftar maka S merupakan ruang sampel diskrit.
2. Tentukan ruang sampel dari semua titik (x, y) yang terletak di luar suatu lingkaran yang berjari – jari 5!
Jawab:
Ruang sampelnya adalah S = { (x, y) /x2 + y2 = 25} jadi n (S) = ∞
Karena anggota dari ruang sampel tidak dapat di daftar maka S merupakan ruang sampel kontinu.
3. Sebuah koin doilempar dua kali tentukan ruang sampelnya!
Jawab:
Karena yang mungkin muncul adalah A, G maka:
S = {AA, AG, GA, GG} jadi n (S) = 4

Ada 3 cara menentukan ruang sampel dari suatu percobaan :
• Dengan mendaftar langsung
• Dengan diagram pohon
• Dengan tabel

TEORI PELUANG 0 komentar

Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Definisi kejadian :
Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel

Definisi peluang :
Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut.
Misalkan A adalah suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai peluang kejadian A dinyatakan dengan



Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan.

Contoh :

Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6, pada ruang sampelnya terdapat sebanyak 6 titik sampel, yaitu munculnya sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
Kejadian-kejadian yang mungkin terjadi misalnya :

Munculnya mata dadu ganjil
Munculnya mata dadu genap
Munculnya mata dadu prima

Jika pada percobaan tersebut diinginkan kejadian munculnya mata dadu prima, maka mata dadu yang diharapkan adalah munculnya mata dadu 2, 3, dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel. Sedang banyaknya ruang sampel adalah 6, maka peluang kejadian munculnya mata dadu prima adalah



Atau:

Menyatakan nilai peluang suatu kejadian pada suatu percobaan dapat dinyatakan dengan menggunakan cara :







Contoh:

Pada percobaan melempar sebuah koin bersisi angka (A) dan gambar (G) dengan sebuah dadu bermata 1 sampai 6 bersama-sama sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya pasangan koin sisi gambar dan dadu mata ganjil ?



Banyaknya kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil ada 3, yaitu (G,1), (G,3) dan (G,5). Peluang kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil adalah




Batas-Batas Nilai Peluang
Nilai peluang suatu kejadian (P) memenuhi sifat , yang berarti
Jika P = 0, maka kejadian tersebut tidak pernah terjadi atau suatu kemustahilan
Jika P = 1, maka kejadian tersebut merupakan kepastian.

Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi, dan A’ adalah suatu kejadian dimana A tidak terjadi,
maka :

Statistika 0 komentar

Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan
cara-cara pengumpulan data, pengolahan, penganalisisan, dan
penarikan kesimpulan berdasarkan data. Sedangkan statistik
sendiri merupakan kumpulan data, baik bilangan maupun nonbilangan
yang disusun dalam tabel dan atau diagram yang
menggambarkan atau memaparkan suatu masalah.
Secara umum, statistika dibagi menjadi dua fase, yaitu:
a. Statistika deskriptif, yaitu fase statistika yang hanya meliputi
kegiatan-kegiatan mengumpulkan data, menyusun, dan
menggambarkan data dalam bentuk tabel atau grafik, serta
menganalisis data yang diperoleh tanpa menarik
kesimpulan terhadap populasi secara umum.
b. Statistika induktif atau inferensi, yaitu fase statistika lebih
lanjut di mana data yang diperoleh dianalisis agar diperoleh
kesimpulan terhadap populasi secara umum.

Sejarah Matematika 1 komentar

Kata "matematika" berasal dari kataμ¬θημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικÌς (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".

Matematika, menurut catatan sejarah, telah lahir sejak jaman Mesir Kuno, kira-kira lima ribu tahun yang lalu. Sekitar empat ribu tahun yang lampau, bangsa Babilonia telah menggunakan geometri sebagai basis perhitungan astronomis, sementara bangsa Mesir telah mengenal ‘tripel Pythagoras’ dan menggunakannya untuk membuat sudut siku. Tiga ribuan tahun yang lalu sifat-sifat segitiga siku-siku juga telah dikenal oleh bangsa Cina.

Namun, bangsa Yunani Kuno-lah yang telah mengembangkan matematika secara sistematis sebagai ilmu sejak dua ribu lima ratusan tahun yang lalu. Dalil pertama tentang segitiga siku-siku dalam lingkaran dibuktikan oleh Thales (625-547 SM), dan dalil tentang ketiga sisi segitiga siku-siku yang dipelajari di sekolah hingga sekarang ini dibuktikan oleh Pythagoras (580-496 SM). Matematikawan Yunani Kuno lainnya yang terkenal melalui karyanya adalah Eudoxus (405-355 SM), Euclid (330-275 SM), Archimedes (287-212 SM), dan Hipparcus (147-127+ SM). Euclid, khususnya, menulis lima belas jilid buku geometri berjudul Elements, yang menjadi standar buku matematika hingga sekarang. Sementara itu Archimedes menulis buku The Method dan terkenal dengan teriakannya Eureka! [lihat A.D. Aczel, 1996].


Menurut The Timetables of History [B. Grun, 1963], buku pertama tentang aljabar ditulis oleh Diophantus dari Alexandria pada tahun 250-an. Sekitar tahun 595, bilangandesimal telah dikenal di India. Pada tahun 630-an, matematikawan India Brahmagupta (598-665+) telah mengenal konsep bilangan negatif dan nol serta mengembangkan metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Pada tahun 750, matematika dikembangkan di Spanyol Arab dan karya Euclid Elements diterjemahkan ke bahasa Arab. Pada tahun 820-an, matematikawan Persia Muhammad Ibnu Musa al Khowarizmi

(780-850) menulis buku Al Jabr Wa’l Muqabalah yang memperkenalkan istilah ‘aljabar’. Notasi aritmetika yang kita kenal sekarang ini dibawa ke Eropa oleh bangsa Arab pada tahun 975. Selama abad pertengahan, tidak banyak perkembangan dalam matematika, kecuali pengenalan lambang bilangan Arab di Eropa oleh Fibonacci (1170-1250) dalam Liber Abaci pada 1202. Namun demikian, sejumlah universitas didirikan di Eropa pada masa itu. Matematika mulai dipelajari kembali secara intensif pada jaman Renaissance di Eropa, sekitar abad ke-17. Beberapa matematikawan masa itu yang terkenal melalui karyanya adalah René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), Isaac Newton (1643- 1727), Gottfried von Leibniz (1646-1716), Jacob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), Daniel Bernoulli (1700-1782),


Leonhard Euler (1707-1783), Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783), Pierre Simon Laplace (1749-1827), Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), dan Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Dalam kata pengantarnya untuk buku Mathematics: From the Birth of Numbers [J. Gullberg, 1997], P. Hilton menyatakan bahwa matematika lahir dan berkembang karena adanya keinginan manusia untuk “mensistematisasikan pengalaman hidupnya, menatanya dan membuatnya mudah dimengerti, supaya dapat meramalkan dan - bila memungkinkan - mengendalikan peristiwa yang akan terjadi pada masa depan.” Bila naluri engineers adalah merekayasa alam dan naluri scientists adalah memahami alam dan mencari tahu apa yang sesungguhnya terjadi, maka naluri matematikawan adalah menstrukturkan proses pemahaman tersebut dengan mencari kesamaan pola di antara berbagai fenomena [I. Stewart, 1995]. Hingga sekarang, cabang-cabang utama matematika, di antaranya logika, kombinatorika, aljabar, teori bilangan, geometri, analisis, teori peluang, statistika, analisis numerik, matematika komputasi, teori kontrol, optimisasi, fisika matematik, dan biologi matematika, telah berkembang jauh dan banyak diaplikasikan dalam bidang lainnya, terutama dalam bidang-bidang yang memerlukan analisis kuantitatif seperti sains, engineering, ekonomi, dan kedokteran.

Aplikasi matematika di dunia industri dapat dijumpai dalam sektor manufacturing, desain produk, pengelolaan lingkungan, dan sains informasi (khususnya bio-informatics) [Society for Industrial and Applied Mathematics, 1996]. Dibandingkan dengan keadaan di negara lain, pengembangan dan pemanfaatan matematika di Indonesia jauh tertinggal. Matematika mulai ditekuni oleh bangsa Indonesia pada abad 20. Doktor matematika pertama dari Indonesia adalah Dr. G.S.S.J. Ratu Langie (alm.), atau lebih dikenal sebagai Dr. Sam Ratulangi, yang meraih gelar doktornya pada 1919 dari University of Zürich, dengan disertasinya yang berjudul Kurven-Systeme in vollständigen Figuren. Hampir 40 tahun kemudian, Profesor Handali mendapat gelar doktornya dari FIPIA-ITB pada 1957, dengan disertasinya yang berjudul On the Zeros of Polynomials of the Form βf(z) – zf’(z). Pada 1959, Profesor Moedomo (alm.) meraih gelar doktornya dari University of Illinois, dengan disertasinya yang berjudul A Representation Theory for the Laplace Transform of Vector-Valued Functions. Paper pertama karya putra Indonesia, yang terekam di Mathematical Reviews (American Mathematical Society), adalah paper Moedomo dan J.J. Uhl Jr. “Radon-Nikodym theorems for the Bochner and Pettis integrals”, yang dipublikasikan di Pacific Journal of Mathematics pada 1971.