MATEMATIKA

Jenis Himpunan

2009-11-29T11:13:00.000+07:00

Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

N = {1,2,3,4,5,6,......}

Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

P = {2,3,5,7,11,13,....}

Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

C = {0,1,2,3,4,5,6,....}

Himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Himpunan bilangan rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain

Himpunan bilangan irasional
Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: log 2, e, akar7

Himpunan bilangan riil
Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3

Himpunan bilangan imajiner
Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

contoh: i, 4i, 5i

Himpunan bilangan kompleks
Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.

contoh: 2-3i, 8+2

Himpunan

2009-11-29T11:11:00.001+07:00

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.

Contoh:

Himpunan siswi kelas III SMU Tarakanita tahun 1999-2000 yang nilai IQ-nya diatas 120.
Himpunan bilangan-bilangan bulaT diantara 10 dan 500 yang habis dibagi 7
Himpunan hanya membicarakan objek-objek yang berlainan saja.

Metode Roster
yaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam
tanda kurung {...........}
contoh: himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,.......}

Metode Rule
yaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaannya
contoh: N = {x½x adalah bilangan asli)

Persamaan Kuadrat

2009-11-29T11:02:00.002+07:00

Bentuk umum : ax² + bx + c = 0

x variabel; a,b,c konstanta ; a ¹ 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.

Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara

Memfaktorkan

ax² + bx + c = 0
a (x + p/a) (x + p/a) = 0
x1 = - p/a dan x2 = - q/a

dengan p.q = a.c dan p + q = b

Melengkapkan bentuk kuadrat
persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
(x + p)² = q² maka x + p = ± q
x1 = q - p dan x2 = - q - p

Rumus ABC
ax² + bx + c = 0 maka X1,2 = ( [-b ± akar(b²-4ac)]/2a

bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
sehingga X1,2 = (-b ± akarD)/2a

TEKNIK SAMPLING

2009-11-20T13:36:00.002+07:00

Beberapa Pengertian Dasar
Sampling :
Proses pengambilan atau memilih n buah elemen/objek/unsur dari populasi
yang berukuran N. Misalnya memilih sebagian murid SD Negeri di Kota
Bandung, dalam sebuah penelitian yang bertujuan untuk mengetahui proporsi
latar belakang tingkat pendidikan orang tua dari seluruh murid SD Negeri di
Kota Bandung.
Elemen :
Sesuatu yang menjadi obyek penelitian, dapat berupa orang atau benda yang
dikenakan pengukuran. Misalnya: Mahasiswa Indonesia, Dosen Universitas
Padjadjaran, SMA Negeri di Kabutaten Semarang.
Populasi (N) :
Kumpulan lengkap dari elemen-elemen yang sejenis akan tetapi dapat
dibedakan berdasarkan karekteristiknya. Misalnya Mahasiswa Indonesia dapat
dibedakan berdasarkan variabel jenis kelamin dengan karakteristik laki-laki dan
perempuan, atau variabel IPK dengan karektaristik indeks antara 0-4.
Sample (n) :
Merupakan bagian dari populasi. Elemen anggota sampel, merupakan
anggota populasi dimana sampel diambil. Jika N banyaknya elemen populasi,
dan n banyaknya elemen sampel, maka n < N.
Kerangka Sampel :
Adalah daftar yang memuat seluruh elemen/anggota populasi, sebagai dasar
untuk penarikan sampel random.
Statistik :
Adalah bilangan yang diperoleh melalui proses perhitungan terhadap
sekumpulan data yang berasal dari sampel.
Parameter :
Adalah bilangan yang diperoleh melalui proses perhitungan terhadap
sekumpulan data yang berasal dari populasi.

Tipe Sampling menurut Proses Memilihnya
Sampling dengan Pengembalian :
Satuan sampling yang terpilih, “dikembalikan” lagi ke dalam populasi (sebelum
dilakukan kembali proses pemilihan berikutnya). Sebuah satuan sampling bisa
terpilih lebih dari satu kali. Untuk populasi berukuran N=4 dan sampel
berukuran n=2, maka sampel yang mungkin terambil adalah Nn = 42 = 16 buah
sampel. Teknik sampling seperti ini bisa dikatakan tidak pernah digunakan
dalam suatu penelitian, hanya untuk keperluan teoritis yang berkatian dengan
pengambilan sampel.
Sampling tanpa Pengembalian :
Satuan sampling yang telah terpilih, “tidak dikembalikan” lagi ke dalam
populasi. Tidak ada kemungkinan suatu satuan sampling terpilih lebih dari
sekali. Untuk populasi berukuran N=4 (misalnya A, B, C, D) dan sampel
berukuran n=3, maka sampel yang mungkin terambil ada 4 buah sampel yaitu
ABC, ABD, ACD, dan BCD.
Jumlah sampel mengikuti persamaan sbb:
N!/n! (N –n)!

Tipe Sampling menurut Peluang Pemilihannya
Sampling Non Probabilitas :
Pada saat melakukan pemilihan satuan sampling tidak dilibatkan unsur
peluang, sehingga tidak diketahui besarnya peluang sesuatu unit sampling terpilih ke dalam sampel. Sampling tipe ini tidak boleh dipakai untuk
menggeneralisasi hasil penelitian terhadap populasi, karena dalam penarikan
sampel sama sekali tidak ada unsur probabilitas. Dalam analisis selanjutnya
hanya diperkenankan menggunakan analisis statistika deskriptif, dan tidak
boleh memakai alat analisis statistika inferensial, baik yang termasuk kelompok
statistika parametrik maupun non parametrik, sebab statistika inferensial pada
prinsipnya juga harus melibatkan unsur probabilitas ketika kita melakukan
pengambilan sampel.
Termasuk Sampling Non Probabilitas antara lain:
a. Haphazard Sampling : Satuan sampling dipilih sembarangan atau seadanya,
tanpa perhitungan apapun tentang derajat kerepresentatipannya.
Misalnya ketika kita akan melakukan penelitian mengenai kompetensi
dosen di sebuah Universitas, pertanyaan dapat diajukan kepada siapapun
mahasiswa dari universitas tersebut (sebagai sampel) yang kebetulan
datang pada saat kita berada di sana untuk melakukan penelitian.
b. Snowball Sampling : Satuan sampling dipilih atau ditentukan berdasarkan
informasi dari responden sebelumnya. Misalnya ada penelitian yang
bertujuan untuk mencari cara yang efektif dalam mensosialisasikan
program-program kemahasiswaan. Sampel pertama barangkali bisa dipilih
Ketua BEM, kepada dia kita bertanya, siapa lagi (sebagai sampel ke-2)
yang kira-kira bisa diwawancara untuk diambil pendapatnya, dan
seterusnya hingga informasi dianggap memadai.
c. Purposive Sampling : Disebut juga Judgment Sampling. Satuan sampling
dipilih berdasarkan pertimbangan tertentu dengan tujuan untuk memperoleh
satuan sampling yang memiliki karakteristik yang dikehendaki.
Misalnya dalam sebuah penelitian pengelolaan pendidikan yang bertujuan
untuk melihat daya saing SMA dalam kerangka WTO, barangkali untuk
tahap awal akan lebih baik sampel dipilih dari SMA yang memiliki nilai UAN
baik, populer di masyarakat, serta kelulusan siswa masuk PTN cukup tinggi.
Sampling Probabilitas :
Dikenal pula dengan nama Random Sampling. Pada saat memilih unit
sampling sangat diperhatikan besarnya peluang satuan sampling untuk terpilih
ke dalam sampel, dan peluang itu tidak boleh sama dengan nol. Sampling tipe
ini bisa dipakai untuk melakukan generalisasi hasil penelitian terhadap
populasi walaupun data yang didapat hanya berasal dari sampel. Analisis tidak
hanya menggunakan statistika deskriptif, juga bisa memakai statistika
inferensial baik yang termasuk kelompok statistika parametrik maupun non
parametrik.
Termasuk Sampling Probabilitas antara lain:
a. Simple Random Sampling : Satuan sampling dipilih secara acak. Peluang
untuk terpilih harus diketahui besarnya, dan untuk tiap satuan sampling
besarnya harus sama. Misalnya ada sebuah penelitian mengenai “Model
Pembiayaan Pendidikan Dasar di Jawa Barat”, sampelnya adalah seluruh
SD dan SMP yang ada di Jawa Barat. Terhadap seluruh SD dan SMP
tersebut dilakukan pemilihan secara random tanpa melakukan
pengelompokkan terlebih dahulu, dengan demikian peluang masing-masing
SD maupun SMP untuk terpilih sebagai sampel sama.
b. Stratified Random Sampling : Populasi dibagi ke dalam sub populasi
(strata), dengan tujuan membentuk sub populasi yang didalamnya
membentuk satuan-satuan sampling yang memiliki nilai variabel yang tidak
terlalu bervariasi (relatif homogen). Selanjutnya dari setiap stratum dipilih
sampel melalui proses simple random sampling. Misalnya dalam penelitian
yang sama seperti di atas, semua sekolah baik SD maupun SMP di Jawa
Barat diklasifikasikan atau distratifikasi terlebih dahulu ke dalam sekolah
yang berbiaya mahal, sedang, dan murah. Kemudian dari masing-masing
strata dipilih sekolah dengan teknik simple random sampling.
c. Cluster Random Sampling. Populasi dibagi ke dalam satuan-satuan
sampling yang besar, disebut Cluster. Berbeda dengan pembentukan
strata, satuan sampling yang ada dalam tiap kluster harus relatif heterogen.
Pemilihan dilakukan beberapa tingkat: (1) Memilih kluster dengan cara
simple random sampling. (2) Memilih satuan sampling dalam kluster. Jika
pemilihan dilakukan lebih dari 2 kali disebut Multi-stage Cluster Sampling.
Misalnya dalam penelitian yang sama seperti di atas, karena Jawa Barat
sangat luas, dipilihlah kabupaten/kota tertentu sebagai sampel klaster ke-1
secara random. Dari tiap kabupaten terpilih dilakukan pemilihan lagi, yaitu
kecamatan-kecamatan tertentu dengan cara random sebagai sampel
klaster ke-2. Selanjutnya dari masing-masing kecamatan dilakukan
pemilihan sekolah yang juga dilakukan secara random

Proses Memilih Sampel Random
Kerangka Sampling :
Adalah daftar atau list yang berisi satuan-satuan sampling yang ada dalam
sebuah populasi. Dalam daftar tersebut setiap satuan sampling diberi nomor
urut. Jika menggunakan Tabel Angka Random, lakukan penomoran sesuai
dengan besarnya ukuran sampel. Misalnya jika jumlah populasi ratusan,
gunakan penomoran dengan tiga digit, bisa dimulai dari 001 dan seterusnya.
Cara Memilih Sampel :
Paling tidak ada 3 cara memilih sampel yang sering digunakan yaitu dengan
cara: (1) mengundi, (2) menggunakan Tabel Angka Random, dan (3) memakai
angka random yang ada dalam Scientific Calculator. Dari segi kepraktisan akan
sangat mudah jika digunakan kalkulator. Dalam kalkulator terdapat tombol
yang bernotasi “RAN#”. Jika tombol tersebut dipijit akan ke luar angka per
seribuan. Misalnya ketika kita akan melakukan penelitian dengan jumlah
populasi 500 sekolah. Semua sekolah harus dimasukan dalam kerangka
sampling yang diberi nomor mulai dari 001, 002, …. 500. Untuk menentukan
sampel ke-1 yang harus diambil pijit timbol RAN# pada kalkulator, misalkan ke
luar angka 0,246, berarti sampel yang harus diambil pertama adalah yang
bernomor urut 246, pijit lagi tombol RAN# misalkan ke luar angka 0,135 berarti
yang harus diambil sebagai sampel yang ke-2 adalah yang bernomor urut 135.
Menentukan Ukuran Sampel (=n)
Pertanyaan yang sering diajukan oleh peneliti ketika akan melakukan penelitian
adalah ”berapa besar sampel yang harus diteliti dari sebuah populasi?”, agar
hasil (berupa data perkiraan) penelitian dapat mewakili atau
merepresentasikan populasi. Data perkiraan (statistik) disebut mewakili jika
angkanya mendekati parameter. Jika parameter 100, 95 disebut lebih mewakili
dibandingkan dengan 90. Dalam menentukan besarnya sampel, hal-hal yang
harus diperhatikan dan dipertimbangkan adalah :
1. Parameter apa yang akan diteliti (misalnya rata-rata, proporsi)
2. Besarnya populasi (N) atau banyaknya elemen populasi yang akan diambil
sampelnya.
3. Berapa tingkat kepercayaan/keyakinan yang dipergunakan (1-a) untuk
menjamin hasil penelitian agar kesalahan samplingnya tidak melebihi nilai
tertentu (B = bound of error).
4. Bagaimana tingkat variasi atau heterogenitas populasi, dimana sampel
akan diambil. Tingkat variasi atau heterogenitas populasi biasanya
dinyatakan dengan s = standard error.
Dengan demikian, untuk menentukan besarnya sampel (n) perlu diketahui
angka-angka dari:
1. N = besarnya populasi.
2. s (standard error) atau s2 (varians) yang menggambarkan heterogenitas
populasi. Jika tidak diketahui bisa diperkirakan dari;
a. range = 4 s (empirical rule)
b. kondisi atau berdasarkan hasil penelitian sebelumnya
3. B = bound of error (kesalahan sampling tertinggi). Kesalahan sampling atau
sampling error = q -`q
4. Tingkat kepercayaan (1-a) atau taraf nyata (a)
5. D = dihitung berdasarkan B dan tingkat kepercayaan. Misalnya untuk
menghitung D yang dipakai guna menentukan jumlah sampel untuk
memperkirakan rata-rata dengan tingkat kepercayaan 95% adalah D = B2/4
yang berasal dari D = (B/ Za/2)2
Angka 4 diperoleh dari: Za/2 = Z0,05/2 = Z0,025 = 1,96 (didapat dari Tabel Z
Distribusi Normal) dibulatkan = 2, (22 = 4)

TURUNAN

2009-11-18T13:38:00.000+07:00

BARISAN DAN DERET

2009-11-18T13:14:00.000+07:00

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan
tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara sukusuku
berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan
tertentu.
Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,
maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:
a. 2, 5, 8, 11, 14, ................ ditambah 3 dari suku di depannya
b. 100, 95, 90, 85, 80, ........ dikurangi 5 dari suku di depannya
Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut
barisan geometri. Misal:
a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, .......... dikalikan 2 dari suku di depannya
b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ............ dikalikan ½ dari suku di depannya
Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:
Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA
Barisan Aritmatika
Misal: 2, 5, 8, 11, 14, .........an
a1 = 2 = a
a2 = 5 = 2 + 3 = a + b
a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b
a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b
an = a + (n-1) b
Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:
a a ( n 1 )b n 1 = + - atau S a ( n 1)b n 1 = + - dimana:
Sn = an = Suku ke-n
a1 = suku pertama
b = beda antar suku
n = banyaknya suku
Latihan:
1. Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, .................
2. Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78. Tentukan suku
pertama dan bedanya !
3. Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 = 41 dan suku ke-
11 = 23
Deret Aritmetika (Deret Hitung)
Misal: Dn = a + (a + b) + (a + 2b) + ...........+ (Sn – 2b) + (Sn – b) + Sn
Dn = Sn + (Sn - b) + (Sn – 2b) + ......+ (a + 2b) + (a + b) + a
+
2 Dn = (a + Sn) + (a + Sn) + (a + Sn) + ................... sebanyak n
2 Dn = n(a + Sn)
( a S )
2
n
D n n = + atau
( a a (n -1) b )
2
n
Dn = + +
( 2a (n - 1) b )
2
n
Dn = + dimana
Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)
Latihan:
1. Carilah jumlah sepuluh suku pertama dari barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, .........
2. Terdapat 60 suku dalam barisan aritmetika yang mana suku pertama adalah 9 dan
suku terakhir adalah 127. Tentukan D60 !
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Barisan Geometri
Misal: 3, 6, 12, 24, 48, .................
a1 = 3 = a
a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar
a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar2
a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar3
an = arn-1
Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:
n 1
n a =ar - dimana:
an = suku ke- n (Sn)
a = suku pertama
r = rasio antar suku berurutan
n = banyaknya suku
Latihan:
1. Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya
adalah 2.
2. Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan
suku ke-9 adalah 768
Deret Geometri (Deret Ukur)
Misal: Dn = a + ar + ar2 + ar3 + ............ + arn-1
r Dn = ar + ar2 + ar3 + ............ + arn-1 + arn
-
Dn - rDn = a - arn
(1-r)Dn = a (1-rn)
(1 r )
a(1 r )
D
n
n -
-
= dimana:
Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)
Latihan:
1. Carilah jumlah sampai dengan suku ke-8 yang pertama dari barisan geometri: 3, 6,
12, 24, ........
2. Apabila suku ke-3 dan suku ke-7 dari suatu deret ukur masing-masing adalah 800
dan 204.800, berapakah suku pertama (a), rasio (r), suku ke-5 (S5) dan jumlah 5
suku pertama (D5) ?

Ruang Sampel

2009-11-18T12:47:00.000+07:00

RUANG SAMPEL:
Yang dimaksud dengan ruang sampel suatu percobaan adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

Percobaan adalah proses yang menghasilkan suatu hasil pengukuran atau pengamatan.
Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel (titik sampel. Menurut banyaknya hasil dalam ruang sampel dibedakan menjadi dua yaitu ruang sampel diskrit dan ruang sampel kontinu.
Ruang sampel dikatakan ruang sampel diskrit jika anggota dari ruang sampel dapat didaftar. Sedangkan jika anggota dari ruang sampel tidak dapat didaftar disebut ruang sampel kontinu.

Ruang Sampel dilambangkan dengan :
S={s1,s2,...}

n(S)-banyaknya anggota S

Contoh:
1. Sebuah dadu dilempar satu kali, tentukan ruang sampelnya!
Jawab:
Karena yang mungkin muncul mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6, maka:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dalam hal ini n (S) = 6
Karena ruang sampel dapat didaftar maka S merupakan ruang sampel diskrit.
2. Tentukan ruang sampel dari semua titik (x, y) yang terletak di luar suatu lingkaran yang berjari – jari 5!
Jawab:
Ruang sampelnya adalah S = { (x, y) /x2 + y2 = 25} jadi n (S) = ∞
Karena anggota dari ruang sampel tidak dapat di daftar maka S merupakan ruang sampel kontinu.
3. Sebuah koin doilempar dua kali tentukan ruang sampelnya!
Jawab:
Karena yang mungkin muncul adalah A, G maka:
S = {AA, AG, GA, GG} jadi n (S) = 4

Ada 3 cara menentukan ruang sampel dari suatu percobaan :
• Dengan mendaftar langsung
• Dengan diagram pohon
• Dengan tabel

TEORI PELUANG

2009-11-18T12:15:00.000+07:00

Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Definisi kejadian :
Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel

Definisi peluang :
Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut.
Misalkan A adalah suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai peluang kejadian A dinyatakan dengan

Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan.

Contoh :

Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6, pada ruang sampelnya terdapat sebanyak 6 titik sampel, yaitu munculnya sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
Kejadian-kejadian yang mungkin terjadi misalnya :

Munculnya mata dadu ganjil
Munculnya mata dadu genap
Munculnya mata dadu prima

Jika pada percobaan tersebut diinginkan kejadian munculnya mata dadu prima, maka mata dadu yang diharapkan adalah munculnya mata dadu 2, 3, dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel. Sedang banyaknya ruang sampel adalah 6, maka peluang kejadian munculnya mata dadu prima adalah

Atau:

Menyatakan nilai peluang suatu kejadian pada suatu percobaan dapat dinyatakan dengan menggunakan cara :

Contoh:

Pada percobaan melempar sebuah koin bersisi angka (A) dan gambar (G) dengan sebuah dadu bermata 1 sampai 6 bersama-sama sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya pasangan koin sisi gambar dan dadu mata ganjil ?

Banyaknya kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil ada 3, yaitu (G,1), (G,3) dan (G,5). Peluang kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil adalah

Batas-Batas Nilai Peluang
Nilai peluang suatu kejadian (P) memenuhi sifat , yang berarti
Jika P = 0, maka kejadian tersebut tidak pernah terjadi atau suatu kemustahilan
Jika P = 1, maka kejadian tersebut merupakan kepastian.

Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi, dan A’ adalah suatu kejadian dimana A tidak terjadi,
maka :

Statistika

2009-11-18T11:49:00.000+07:00

Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan
cara-cara pengumpulan data, pengolahan, penganalisisan, dan
penarikan kesimpulan berdasarkan data. Sedangkan statistik
sendiri merupakan kumpulan data, baik bilangan maupun nonbilangan
yang disusun dalam tabel dan atau diagram yang
menggambarkan atau memaparkan suatu masalah.
Secara umum, statistika dibagi menjadi dua fase, yaitu:
a. Statistika deskriptif, yaitu fase statistika yang hanya meliputi
kegiatan-kegiatan mengumpulkan data, menyusun, dan
menggambarkan data dalam bentuk tabel atau grafik, serta
menganalisis data yang diperoleh tanpa menarik
kesimpulan terhadap populasi secara umum.
b. Statistika induktif atau inferensi, yaitu fase statistika lebih
lanjut di mana data yang diperoleh dianalisis agar diperoleh
kesimpulan terhadap populasi secara umum.

Sejarah Matematika

2009-11-18T09:40:00.000+07:00

Kata "matematika" berasal dari kataμ¬θημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικÌς (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".

Matematika, menurut catatan sejarah, telah lahir sejak jaman Mesir Kuno, kira-kira lima ribu tahun yang lalu. Sekitar empat ribu tahun yang lampau, bangsa Babilonia telah menggunakan geometri sebagai basis perhitungan astronomis, sementara bangsa Mesir telah mengenal ‘tripel Pythagoras’ dan menggunakannya untuk membuat sudut siku. Tiga ribuan tahun yang lalu sifat-sifat segitiga siku-siku juga telah dikenal oleh bangsa Cina.

Namun, bangsa Yunani Kuno-lah yang telah mengembangkan matematika secara sistematis sebagai ilmu sejak dua ribu lima ratusan tahun yang lalu. Dalil pertama tentang segitiga siku-siku dalam lingkaran dibuktikan oleh Thales (625-547 SM), dan dalil tentang ketiga sisi segitiga siku-siku yang dipelajari di sekolah hingga sekarang ini dibuktikan oleh Pythagoras (580-496 SM). Matematikawan Yunani Kuno lainnya yang terkenal melalui karyanya adalah Eudoxus (405-355 SM), Euclid (330-275 SM), Archimedes (287-212 SM), dan Hipparcus (147-127+ SM). Euclid, khususnya, menulis lima belas jilid buku geometri berjudul Elements, yang menjadi standar buku matematika hingga sekarang. Sementara itu Archimedes menulis buku The Method dan terkenal dengan teriakannya Eureka! [lihat A.D. Aczel, 1996].

Menurut The Timetables of History [B. Grun, 1963], buku pertama tentang aljabar ditulis oleh Diophantus dari Alexandria pada tahun 250-an. Sekitar tahun 595, bilangandesimal telah dikenal di India. Pada tahun 630-an, matematikawan India Brahmagupta (598-665+) telah mengenal konsep bilangan negatif dan nol serta mengembangkan metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Pada tahun 750, matematika dikembangkan di Spanyol Arab dan karya Euclid Elements diterjemahkan ke bahasa Arab. Pada tahun 820-an, matematikawan Persia Muhammad Ibnu Musa al Khowarizmi

(780-850) menulis buku Al Jabr Wa’l Muqabalah yang memperkenalkan istilah ‘aljabar’. Notasi aritmetika yang kita kenal sekarang ini dibawa ke Eropa oleh bangsa Arab pada tahun 975. Selama abad pertengahan, tidak banyak perkembangan dalam matematika, kecuali pengenalan lambang bilangan Arab di Eropa oleh Fibonacci (1170-1250) dalam Liber Abaci pada 1202. Namun demikian, sejumlah universitas didirikan di Eropa pada masa itu. Matematika mulai dipelajari kembali secara intensif pada jaman Renaissance di Eropa, sekitar abad ke-17. Beberapa matematikawan masa itu yang terkenal melalui karyanya adalah René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), Isaac Newton (1643- 1727), Gottfried von Leibniz (1646-1716), Jacob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), Daniel Bernoulli (1700-1782),

Leonhard Euler (1707-1783), Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783), Pierre Simon Laplace (1749-1827), Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), dan Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Dalam kata pengantarnya untuk buku Mathematics: From the Birth of Numbers [J. Gullberg, 1997], P. Hilton menyatakan bahwa matematika lahir dan berkembang karena adanya keinginan manusia untuk “mensistematisasikan pengalaman hidupnya, menatanya dan membuatnya mudah dimengerti, supaya dapat meramalkan dan - bila memungkinkan - mengendalikan peristiwa yang akan terjadi pada masa depan.” Bila naluri engineers adalah merekayasa alam dan naluri scientists adalah memahami alam dan mencari tahu apa yang sesungguhnya terjadi, maka naluri matematikawan adalah menstrukturkan proses pemahaman tersebut dengan mencari kesamaan pola di antara berbagai fenomena [I. Stewart, 1995]. Hingga sekarang, cabang-cabang utama matematika, di antaranya logika, kombinatorika, aljabar, teori bilangan, geometri, analisis, teori peluang, statistika, analisis numerik, matematika komputasi, teori kontrol, optimisasi, fisika matematik, dan biologi matematika, telah berkembang jauh dan banyak diaplikasikan dalam bidang lainnya, terutama dalam bidang-bidang yang memerlukan analisis kuantitatif seperti sains, engineering, ekonomi, dan kedokteran.

Aplikasi matematika di dunia industri dapat dijumpai dalam sektor manufacturing, desain produk, pengelolaan lingkungan, dan sains informasi (khususnya bio-informatics) [Society for Industrial and Applied Mathematics, 1996]. Dibandingkan dengan keadaan di negara lain, pengembangan dan pemanfaatan matematika di Indonesia jauh tertinggal. Matematika mulai ditekuni oleh bangsa Indonesia pada abad 20. Doktor matematika pertama dari Indonesia adalah Dr. G.S.S.J. Ratu Langie (alm.), atau lebih dikenal sebagai Dr. Sam Ratulangi, yang meraih gelar doktornya pada 1919 dari University of Zürich, dengan disertasinya yang berjudul Kurven-Systeme in vollständigen Figuren. Hampir 40 tahun kemudian, Profesor Handali mendapat gelar doktornya dari FIPIA-ITB pada 1957, dengan disertasinya yang berjudul On the Zeros of Polynomials of the Form βf(z) – zf’(z). Pada 1959, Profesor Moedomo (alm.) meraih gelar doktornya dari University of Illinois, dengan disertasinya yang berjudul A Representation Theory for the Laplace Transform of Vector-Valued Functions. Paper pertama karya putra Indonesia, yang terekam di Mathematical Reviews (American Mathematical Society), adalah paper Moedomo dan J.J. Uhl Jr. “Radon-Nikodym theorems for the Bochner and Pettis integrals”, yang dipublikasikan di Pacific Journal of Mathematics pada 1971.